Question

calculati ultima cifra a numerelor:
25^36,73^100,4^26,71^17,2008^23,42^42,47^211

Answer 1

A) pentru 25^36=(5^2)^36=5^(2*36)=5^72
Calculăm câteva puteri. 5^1=5; 5^2 =25; 5^3=125, şamd
Observăm că numărul 5 ridicat la orice putere, diferită de 0, are ultima cifră 5
Vom scrie U(5^72)=U(25^36)=5. 

B) pentru 73^100:

Calculăm câteva puteri:

3^1=3; 3^ 2=9; 3^3=27; 3^4=81 3^5=243; 3^6=729; 3^7=2187; 3^8=6561; şamd. 
Observăm că ultima cifră a acestor numere se repetă din 4 în 4, iar 3^4 sau 13 sau 23 sau … 73, are ultima cifră 1 ( un număr cu ultima cifră 1). 
Din acest motiv, împărţim 100 la 4 şi obţinem câtul 25 şi rest 0, ceea ce se scrie 100=25×4+0. 
Vom scrie U(3^100)=U[3^ (25×4+0)]=U[3^( 25×4)]*U(3^0)=

=U(( 3^4)^25)*1=U( 81^ 25)*1=U( 81^ 25)

Stim ca un număr care are ultima cifră 1 ridicat la orice putere, are ultima cifră 1=>

=>U(81*25)=1=>73^100 are ultima cifra 1.

C) pentru 4^26=(2^2)^26=2^(2*26)=2^52
Calculăm câteva puteri:
2^1=2; 2^2=4; 2^3=8; 2^4=16; 2^5=32; 2^6=64; 2^7=128; 2^8=256; şamd. 
Observăm că ultima cifră a acestor numere se repetă din 4 în 4, iar 2^4 sau 8 sau 12 sau 16…, are ultima cifră 6 ( un număr cu ultima cifră 6). 
Din acest motiv, 52:4=13rest 0=> 52=13×4+0. 
Vom scrie U(2^52)=U[ 2^(13×4+0)]=U[2^(13×4)]*U( 2^0)=
=U[( 2^4)^13)]*1=U( 16^13)*1==U( 16^13).
Stim ca un număr care are ultima cifră 6, ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 6=>U( 16^13)*1=>U(6*1)=U(6)=6=>4^26 are ultima cifra 6.

D) pentru 71^17
Stim ca un număr care are ultima cifră 1 ridicat la orice putere, are ultima cifră 1=>U(71^17)=1

E) pentru 2008^23=(2*1004)^23=(2*2*502)^23=(2*2*2*251)^23=
=(2^3)^23* 251^23=2^(3*23) * 251^23=2^69 * 251^23
Aflam U(2^69) si U(251^23)
U(2^69)=?
Calculăm câteva puteri:
 2^1=2; 2^2=4; 2^3=8; 2^4=16; 2^5=32; 2^6=64; 2^7=128; 2^8=256; şamd. 
Observăm că ultima cifră a acestor numere se repetă din 4 în 4, iar 2^4 sau 8 sau 12 sau 16…, are ultima cifră 6 ( un număr cu ultima cifră 6). 
Din acest motiv, 69:4=17 rest 1=> 69=17×4+1. 
Vom scrie U(2^69)=U[ 2^(17×4+1)]=U[2^(17×4)]*U( 2^1)=
=U[(2^4)^17)]*2=U(16^13)*2.
Stim ca un număr care are ultima cifră 6, ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 6=>U( 16^17)*2=>U(6*2)=U(12)=2.                                  (1)
U(251^23)=? 
Stim ca un număr care are ultima cifră 1 ridicat la orice putere, are ultima cifră 1=>U(251^23)=1                                                                                (2)

Din (1) si (2)=> U(2^69) * U(251^23)=2*1=2=>2008^23 are ultima cifra 2

F)  42^42=(6*7)^42=6^42 * 7^42
Aflam U(6^42) si U(7^42)
U(6^42)=?
Stim ca un număr care are ultima cifră 6, ridicat la orice putere diferită de 0, are ultima cifră 6=>U(6^42)=6                                                                    (1)
U(7^42)=?
Calculăm câteva puteri:
7^1=7; 7^2=49; 7^3=343; 7^4=2401; 7^5=16807; samd.
Observăm că ultima cifră a acestor numere se repetă din 4 în 4, iar 7^4 ca si 17,27,..., are ultima cifra 1 (un numar cu ultima cifra 1).
Din acest motiv=>42:4=13 rest 0=>42=13*4+0
Vom scrie: U(7^42)=U[7^(13*4+0)]=U[7^(13*4)]*U(7^0)=U[(7^4)^13*1=
=U(2401^13)*1
U(2401^13)=?
Stim ca un număr care are ultima cifră 1 ridicat la orice putere, are ultima cifră 1=>U(2401^13)=1=>U(2401^13)*1=U(1*1)=1                                    (2)
Din (1) si (2)=>U(6^42) * U(7^42)=U(6)*U(1)=U(6*1)=U(6)=6=> 42^42 are ultima cifra 6

G) 47^211
Calculăm câteva puteri:
7^1=7; 7^2=49; 7^3=343; 7^4=2401; 7^5=16807; samd.
Observăm că ultima cifră a acestor numere se repetă din 4 în 4, iar 7^4 ca si 17,27,37, 47,..., are ultima cifra 1 (un numar cu ultima cifra 1).
Din acest motiv=>211:4=52 rest 3=>211=52*4+3
Vom scrie: U(7^211)=U[7^(52*4+3)]=U[7^(52*4)]*U(7^3)=U[(7^4)^52*U(343)=
=U(2401^13)*3
Stim ca un număr care are ultima cifră 1 ridicat la orice putere, are ultima cifră 1=>U(2401^13)=1=>U(2401^13)*3=U(1*3)=3=>47^211 are ultima cifra 3