Question

Calculati ultimile 2 cifre ale sumei :
$S=1!+2!+3!+...+2015!$

Answer 1

Ca punct de plecare, te poti uita pe lista de valori ale funcției factorial (sau să le calculezi chiar tu pe primele), ca să observi ceva.

Și anume:
 
1!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120, iar după cum vei observa, orice factorial mai mare decât 5! se termină în 0 (deoarece are în dezvoltare 2 înmulțit cu 5, care dă 10. Și orice număr înmulțit cu 10 se termină în 0)
6!=720
Primele cifre nici nu sunt relevante, întrucât doar ultimele două ne interesează, așa că le voi evidenția decât pe acestea:
7!=...40 
8!=...20
9!=...80
10!=...00 (Iar începând de la 10!, toate se vor termina cu 00, deoarece au în dezvoltare 2, 5 și 10, care înmulțite dau 100, iar orice număr înmulțit cu 100 se termină în 00).

De aici nici nu mai luăm în calcul numerele mai mari, deoarece toate se vor termina în zero-uri și nu vor influența ultimele două cifre ale sumei cerute.

Deci răspunsul va fi dat chiar de suma ultimelor două cifre ai factorialilor de la 1! până la 10! (repet, ce urmează după 10! nu mai are importanță, deoarece se termina în 00 și nu schimbă cu nimic)

1+2+6+24+20+20+40+20+80=...13, deci ultimele două cifre vor fi 13.

Nu știu cât am fost de explicit. Dacă nu e clar, întreabă-mă!

Answer 2

1! =1

2! = 1!·2 = 2

3! = 2!·3 = 6

4! =3!·4 = 24

5! = 4!·5 = 120 =(...20)

6! = 5!·6 = (...20)

7! = 6!·7 = (...40)

8! = 7!·8 = (...20)

9! = 8!·9 = (...80)

10! = 9!·10= (...00)

11! = 10!·11 =(...00)
.
.
.
2015! = ( ... 00)

S = 1+2+6+24+(...20)+(...20)+(...40)+(...20)+(...80)+(...00)+(...00)+ ... +(00)⇒

S = 33 +(...20)+(...20)+(...40)+(...20)+(...80) =(...13)