Question

Calculaţi valoarea minimă a perimetrului unui trapez isoscel circumscris unui cerc dat, cu lungimea razei egale cu R.
va rog mult , coroana​

Answer 1

Răspuns:

8R

Explicație pas cu pas:

cerc înscris în trapezul isoscel ABCD, AB || DC, AD ≡ BC; notăm AB = B și DC = b

ducem OE ⊥ BC, E ∈ BC

notăm cu R mijlocul segmentului DC și cu T mijlocul segmentului AB

$CE = CR = \frac{DC}{2} = \frac{b}{2} \\ BE = BT = \frac{AB}{2} = \frac{B}{2} \\ BC = BE + CE \implies \bf BC = \frac{B + b}{2}$

$P_{ABCD} = AB + 2 \cdot BC + DC = B + 2 \cdot \frac{B + b}{2} + b \\ \iff P_{ABCD} = 2 \cdot (B + b)$

ducem înălțimea CN ⊥ AB, N ∈ AB

CN ≡ RT, RT este diametru în cerc

=> CN = 2×R

$BN = \frac{AB - DC}{2} \implies \bf BN = \frac{B - b}{2}$

T.P. în ΔCNB: CN² = BC² - BN²

${(2R)}^{2} = {\Big(\frac{B + b}{2}\Big)}^{2} - {\Big(\frac{B - b}{2}\Big)}^{2}\\4{R}^{2} = \frac{ {(B + b)}^{2} }{4} - \frac{ {(B - b)}^{2} }{4}\\{(B + b)}^{2} = 16{R}^{2} + {(B - b)}^{2} \\ {[2(B + b)]}^{2} = 64{R}^{2} + 4{(B - b)}^{2} \\ P_{ABCD} = \sqrt{64{R}^{2} + 4{(B - b)}^{2}}$

Perimetrul are valoarea minimă atunci când B - b = 0, adică B = b => ABCD este pătrat

$P_{ABCD} = \sqrt{64{R}^{2}} \iff \bf P_{ABCD} = 8R$

Answer 2

Răspuns:

Este nevoie de un desen aferent pentru a intelege solutia.