Question

Calculati volumul paralelipipedului dreptunghic cu dimensiunile a,b,c astfel incat $\sqrt{a+b+1} + \sqrt{b+c+1} + \sqrt{a+c+1} \geq 3\sqrt{3}$ si diagonala paralelipipedului de $\sqrt{3}$.
Filip , te rog mult,mult sa ma ajuti cu aceasta problema,efectiv m-am blocat.
Te rog sa n-o stergi , si daca o faci ( nu stiu din ce motive,ma rog) sa-mi spui si mie un indiciu macar.Nu am niciun barem la ea si chiar as dori sa vad cum se face .Multumesc mult!

Answer 1

$\sqrt{a^2+b^2+c^2}= \sqrt{3} \Rightarrow a^2+b^2+c^2=3. \\ \\ Din~inegalitatea~(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)=9,~rezulta \\ \\ a+b+c \leq 3. \\ \\ Din~inegalitatea~MA \leq MP~avem: \\ \\ \frac{\sqrt{a+b+1}+ \sqrt{b+c+1}+ \sqrt{a+c+1}}{3} \leq \sqrt{ \frac{2(a+b+c)+3}{3} } \leq \sqrt{ \frac{2 \cdot 3+3}{3} }= \sqrt{3}. \\ \\ Deci~\sqrt{a+b+1}+ \sqrt{b+c+1}+ \sqrt{a+c+1} \leq 3 \sqrt{3} .$

$Tinand~cont~si~de~ipoteza,~rezulta~ca \\ \\ \sqrt{a+b+1}+ \sqrt{b+c+1}+ \sqrt{a+c+1} =3 \sqrt{3}. \\ \\ (aici~am~folosit~faptul~ca~x \geq y~si~x \leq y~implica~x=y) \\ \\ Acum,~tinand~cont~ca~egalitatea~in~fiecare~dintre~ \\ \\ inegalitatile~aplicate~are~loc ~ \Leftrightarrow a=b=c~si~ca~egalitatea \\ \\ trebuie~sa~aiba~loc ,~rezulta ~a=b=c \Rightarrow ~cub~de~latura~1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow volum=1.$

*MA=media aritmetica // MP=media patratica

*Daca mi-ai fi citit mesajele, ai fi stiut de ce ti-am sters intrebarile.