Question

Calculati: |-x+1|=|x-2|
|x|-|x+1|=1
|x-1|+|x+5|=5
Demonstrati: |x+1|+|x+1| mai mare sau egal cu 2

Answer 1

|-x+1|=|x-2|
pentru -x+1≥0, x≤1, ⇒ |-x+1|=-x+1
pentru -x+1<0, x>1 ⇒ |-x+1|=x-1

pentru x-2≥0, x≥2 ⇒|x-2|=x-2
pentru x-2<0, x<2 ⇒ |x-2|=2-x


si acum rezolvam ecuatia:
pentru x≥2
x-1=x-2 nu avem solutii

pentru 1≤x<2
x-1=2-x
2x=3
x=3/2

pentru x<1
-x+1=2-x nu avem solutii
in concluzie avem o singura solutie x=3/2

|x|-|x+1|=1

pentru x≥0
x-(x+1)=1 nu avem solutii

pentru -1≤x<0
-x-(x+1)=1
-2x=2
x=-1

pentru x<-1
-x-(-x-1)=1
1=1 egalitate pentru oricare x<-1
deci solutiile lui x
x∈(-∞ , -1]

|x-1|+|x+5|=5
pentru x≥1
x-1+x+5=5
2x=1
x=1/2 solutie neacceptata pentru ca nu e in domenul studiat x≥1

pentru -5≤x<1
-x+1+x+5=5 nu avem solutii

pentru x< -5
-x+1+(-x-5)=5
-2x-4=5
x=-9/2 solutie in afara domeniului
deci nu exista x∈R care sa fie solutie a ecuatiei

|x+1|+|x+1|=2x+2=2(x+1) ≥ 2  pentru x>-1 (egalitatea are loc pentru x=0)
|x+1|+|x+1|=-x-1-x-1=-2(x+1) ≥2  pentru x<-1(egalitatea are loc pentru x=-2)

pentru x=-1 |x+1|+|x+1|=0