Question

Calculati x,y apartin R:
$x^2+y^2+4i=-2-3xy+(xy+y^2)i$

Answer 1

Am atasat rezolvarea completa:

In imagine am uitat sa scriu cazul (2), acesta oricum, nu are nicio solutie, il voi scrie aici:

x+3y = 0 => x = -3y

Inlocuim in y²+xy=4 => y²+(-3y)·y = 4 => y²-3y² = 4 => -2y² = 4 =>
=> y² = -2 (F) deoarece y^2 ≥ 0
=> pentru cazul (2) nu avem solutii.

Answer 2

$\displaystyle Avem \left \{ {{x^2+y^2+3xy+2=0~~(*)} \atop {xy+y^2-4=0}~~(**)}\right.. \\ \\ Din~(**)~rezulta~xy=4-y^2.~Inlocuim~in~(*)~si~obtinem \\ \\ \boxed{x^2=2y^2-14}~. \\ \\ Evident~y \neq 0.~(In~caz~contrar~(**)~ar~deveni~-4=0,~fals!) \\ \\ Din~(**)~rezulta~\boxed{ x=\frac{4-y^2}{y}}~. \\ \\ Din~relatiile~din~chenar~rezulta~ \left( \frac{4-y^2}{y} \right)^2=2y^2-14. \\ \\ \Leftrightarrow y^4-6y^2-16=0.$

$\displaystyle Notam~y^2=t \Rightarrow t^2-6t-16=0.~Rezolvand~ecuatia~obtinem \\ \\ t \in \{-2,8 \},~dar~t \ge 0,~deci~t=8. \\ \\ Asadar~ \boxed{y^2=8}~.~Deci~y \in \{-2 \sqrt{2},2 \sqrt{2} \}. \\ \\ Cum~x= \frac{4-y^2}{y},~rezulta: \\ \\ \bullet y= -2 \sqrt{2} \Rightarrow x= \sqrt{2}. \\ \\ \bullet y= 2 \sqrt{2} \Rightarrow x=- \sqrt{2}. \\ \\ Verificand~solutii~gasite~(trebuie~verificate!),~constatam~ca \\ \\ sunt~bune. \\ \\ SOLUTIE:~(x,y) \in \{ (- \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})~;~( \sqrt{2},-2 \sqrt{2})\}.$}