Question

CALCULATI: x⁴+2x³-x²-2x

Answer 1

a=x⁴+2x³-x²-2x =x³(x+2)-x(x+2)=(x³-x)(x+2)=x(x²-1)(x+2)=x(x-1)(x+1)(x+2)==(x-1)*x*(x+1) (x+2),
pt x ∈N* , x-1,x+1 si x+2  sunt naturali
ptx∈N* , (x-1)* x * (x+1) (x+2)∈N ; pt x=1, a=0*1*2*3=0, divizibil cu 24, pt ca 0 se divide cu orice numar
ptx=2, a=1*2*3*4=24, divizibil cu 24
ptx=3, a =2*3*4*5=120, divizibil cu 24
dar aceasta nu este o demonstarie pt ∀x, este doar o verificare pt.cateva valori


Demonstratie pt ∀x
un produsde 4 numere succesive va avea 2 termeni pari,

din acesti termeni pari, unul si numai unul va fio divizibil cu 4, pt ca din patru numere succesive unul si numai unul va fi divizibil cu 4
deci produsul este divizibil cu 2*4=8

 in un produsde 4 numere succesive cel putin unul dintre ele (si cel mult 2 )va  (for) fi divizibil(e) cu 3
cum 3 si 8 sunt primi intre ei,
 numarul va fidivizibil cu 8*3=24