Question

calculeaza aria unui triunghi echilateral inscris intr-un cerc de raza 1

Answer 1

In Δ ABCcu A,B,C ∈ cercului  OA=OB=OC=1     ∡A=∡B=∡C=60°
Daca prelungim din O pana se intersecteaza cu laturile triunghiului ABC
Fiind Δ echilateral AN , BP, CM sunt inacelasi timp inaltimi , mediatoare,bisectoare si mediane.
In ΔAOM cu ∡M=90°
                     ∡OAM= 30° (AN bisectoare)
                      AO=r=1   ⇒OM=1/2 (intr-un Δdreptunghic latura care se opune ∠-lui de 30°este jumatate din ipotenuza
In ΔAOM  aplic sin∠AOM=AM/AO
                         sin 60°  =  AM/1
                             √3/2  = AM/1
                               AM  = √³/2 ⇒ AB= AM·2  AB=√3
Aria ΔABC = 1/2AB·ACsin A
AΔABC =1/2√3·√3sin60° =1/2·3·√3/2=3√3/4