Question

Calculeaza b=1+3+5+7+9+.......+2015

Answer 1

Aceasta este o progresie aritmetica cu ratia 2

S=(a1+an)*n/2

a1- primul termen
an-ultimul termen
n-nr de termeni

an=a1+(n-1)*r
r-ratia

r=a2-a1
r=3-1
r=2

2015=1+(n-1)*2
2014=(n-1)*2
1007=n-1
n=1008 -termeni sunt in total

S=(1+2015)*1008/2
S=2016*1008/2
S=1008*1008
S=1008²

Answer 2

Trebuie să ne întrebăm câți termeni are această sumă.

Observăm că avem numere consecutive impare.

Într-un șir de numere naturale consecutive, care se termină cu număr par,

jumătate din numere sunt pare  și, evident, cealaltă jumătate

 sunt numere impare.

Adăugăm după 2015 numărul 2016 și ne închipuim că avem toate numerele consecutive de la 1 la 2016, adică

1, 2, 3, 4, 5, ... 2015, 2016.

Jumătate dintre acestea sunt impare, deci 2016:2 = 1008

Acum am stabilit că suma din enunț are 1008 termeni

Și acum , pentru clasa a 7-a (dar chiar și pentru a 5-a !), scriem:

1+3+5+7 +  ...  2015 = 1008²