Question

Calculează si verifica prin inductie matematica:
1*4+2*7+3*10+........+n(3n+1)

Answer 1

suma de compune din:
s1=3(1^2 +2^2+3^2+............n^2)=3 x n(n+1)(2n+1)/6 
s2=1+2+3+...........................n=n(n+1)/2

s2  se cunoaste
sa demonstram prin inductie s1

1. s1(1) ⇒ 3 =3 adevarata
2. presupunem adevarata s1(n)
3. s1(n+1) ⇒ 3(1^2+2^2+3^2+.........(n+1)^2=3(n+1)(n+2)(2n+3)/6  sa vedem daca e adevarata
prelucram membrul stang:
s1(n)+3(n+1)^2=3[n(n+1)(2n+1)]/6 + 3(n+1)^2=(n+1)(2n^2+7n+6)/2=
=(n+1)(2n+3)(n+2)/2 si care se observa ca este este exact ca membrul drept din 3. deci am demonstrat ca s1 are forma scrisa la inceput

s=s1+s2=1*4+2*7+3*10+...........+n(3n+1)=
=n(n+1)(2n+1)/2 +n(n+1)/2=n(n+1)^2

1. pentru n=1 ⇒ 4=4
2. presupunem ca s e adevarata pentru n
3. sa aratam ca s e adevarata si pentru n=n+1
s(n+1)=1*4+2*7+3*10+.......+(n+1)(3n+4)=s(n)+(n+1)(3n+4)=
=n(n+1)^2 +(n+1)(3n+4)=(n+1)(n^2+4n+4)=(n+1)(n+2)^2 care este egal cu membru drept din relatia lui s1 cu n=n+1

prin urmare suma din enunt este
s=n(n+1)^2

nu sunt sigur ca am fost suficient de explicit pentru ca aici se redactarea e f. dificila.

descompunerea in 2 sume se pleaca de la termenul general
k(3k+1)=3k^2+k care determina 2 sume
1. suma dupa k=1 la n din 3k^2 si
2. suma dupa k=1 la n din k

s1 o stiam dar ti-am demonstrat-o prin inductie.
s2 e o suma gaus clasica

transcrie cu atentie si sigur ai sansa sa pricepi ceva
parca asta e de nivel mare dar poate te pregatesti de olimpiada