Question

calculează ultima cifra a numerelor
$1 {}^{100} + 2 {}^{100} + 3 {}^{100} + 4 {}^{100} + 5 {}^{100}$
$(1 + 2 + 3 + ... + 10) {}^{100}$
$(1 + 3 + 5 + ... + 49) {}^{500}$
​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

$u( {1}^{100} + {2}^{100} + {3}^{100} + {4}^{100} + {5}^{100}) = ?$

Ultima cifră a oricărei puteri a lui 1 este 1.

$u( {2}^{100} ) = ?$

${2}^{1} = \bold{2} \\ {2}^{2} = \bold{4} \\ {2}^{3} = \bold{8} \\ {2}^{4} = 1 \bold{6} \\ {2}^{5} = 3 \bold{2}$

100 ÷ 4 = 25 rest 0

$Ultima \: cifr \breve{a} \: a \: lui \: {2}^{100} \: este \: 6.$

$u( {3}^{100} ) = ?$

${3}^{1} = \bold{3} \\ {3}^{2} = \bold{9} \\ {3}^{3} = 2 \bold{7} \\ {3}^{4} = 8 \bold{1} \\ {3}^{5} = 24 \bold{3}$

100 ÷ 4 = 25 rest 0

$Ultima \: cifr \breve{a} \: a \: lui \: {3}^{100} este \: 1.$

$u( {4}^{100} ) = ?$

${4}^{1} = \bold{4} \\ {4}^{2} = 1 \bold{6} \\ {4}^{3} = 6 \bold{4}$

100 ÷ 2 = 50 rest 0

$Ultima \: cifr \breve{a} \: a \: lui \: {4}^{100} \: este \: 6.$

Ultima cifră a oricărei puteri a lui 5 este 5.

$u( {1}^{100} + {2}^{100} + {3}^{100} + {4}^{100} + {5}^{100} ) = u( {1}^{100} ) + u( {2}^{100} ) + u( {3}^{100} ) + u( {4}^{100} ) + u( {5}^{100} ) = 1 + 6 + 1 + 6 + 5 = 7 + 7 + 5 = 4 + 5 = \boxed{ \bold{9}}$

$u( {(1 + 2 + 3 + ... + 10)}^{100} ) = ?$

${(1 + 2 + 3 + ... + 10)}^{100} = {\left( \frac{10 \cdot11}{2} \right)}^{100} = {(5 \cdot11)}^{100} = {55}^{100}$

$u( {55}^{100} ) = u( {5}^{100} ) = \boxed{ \bold{5}}$

$u( {(1 + 3 + 5 + ... + 49)}^{500} ) = ?$

${(1 + 3 + 5 + ... + 49)}^{500} = ?$

1 + 3 + 5 + 49 = [(49 + 1) ÷ 2]^2 = (50 ÷ 2)^2 = 25^2 = 625 (^ înseamnă la puterea)

u (625^500) = u (5^500) = 5