Question

cand o functie este marginita ? De exemplu, f(x) = x * arctg x - ln ( 1+x^2 ) sa se arate ca f '(x) este marginita. Pe net am citit ceva de genul m <= f(x) <= M, cine e m si cine M ( cumva minim si maxim ) ? Mie in carte imi calculeaza f ''(x) si apoi lim cand x -> - infinit si apoi lim la plus infinit din f '(x). Dar nu inteleg de ce face asta... Ca sa va ajut, f '(x) = arctg x - x/(x^2 +1).

Answer 1

O funcţie este mărginită când putem încadra imaginea ei într-un interval finit, având astfel  un minim şi un maxim ( deci da, la asta se referea acel m şi M despre care vorbeai )... Pentru a afla acest minim/maxim, trebuie să calculezi derivata funcţiei, să o egalezi cu 0 şi să afli punctele în care funcţia îşi schimbă semnul (deoarece cu ajutorul derivatei îţi dai seama de monotonie).

Presupun că cel mai bine înţelegi cu un exemplu...

$f: (0,+infinit), \ \ \ \ f_{(x)}=x-2\ ln \ x$

Dacă ne-ar pune să demonstrăm că această funcţie este măginită inferior, ar trebui să demonstrăm că are un minim, adică un m pentru care este adevărată relaţia: f(x) > m.

Mai întâi calculăm derivata:

$f'_{(x)}=1- 2\frac{1}x} =\frac{x-2}x} \\ f'_{(x)}=0 <=> x-2=0=> x=2$

$f_{(2)}=2-2ln2$

Acum că avem aceste valori, facem tabelul. De asemenea, în el trebuie să adăugăm şi limitele pentru captele funcţiei. Dacă ea este definită pe (0,+infinit), atunci calculăm limita din fiecare. (am lăsat poza în ataşament)

lim x->0 f(x) = infinit
lim x->+infinit f(x) = infinit

Se observă că pe intervalul (0,2) funcţia scade, iar de la (2,infinit) creşte. În punctul x=2 aceasta îşi schimbă semnul şi este un punct de minim (deoarece până acolo funcţia a tot scăzut, până la o valoare minimă...).


Revenind la exemplul tău, acolo trebuia să demonstrezi că DERIVATA funcţiei este mărginită. Pentru asta trebuie să calculezi derivata derivatei, adică derivata de ordinul 2.

$f'(x) = arctg x - \frac{x}{x^2 +1}$

$f''(x)= \frac{2x^2}{ (x^2+1)^2}$

$f''(x) = 0 => x=0 \\ f'(0) = 0$

Funcţia f''(x) este strict pozitivă, deci f'(x) este crescătoare. În 0 funcţia nu îşi schimbă semnul, deci nu este nici minim nici maxim.

Mai avem de calculat limitele pentru captele funcţiei (presupun că funcţia e definită pe (-infinit,+infinit)):

$lim_{ x->-infinit} f'(x) = -\frac{ \pi }{2}$

$lim_{x->infinit} f'(x) = \frac{ \pi }{2}$

Uită-te în a doua imagine pentru tabelul funcţiei. Funcţia este crescătoare peste tot, de la -pi/2, la pi/2, deci imaginea funcţiei va fi mărginită de aceste valori...