Question

Care este cel mai mic nr natural care are exact 15 divizori?

Answer 1

Avem o formula:
Daca descompunerea in factori primi a unui numar este:
$n=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdot p_3^{e_3}\cdot...\cdot p_k^{e_k}$

Atunci numarul de divizori va fi produsul dintre fiecare exponent adunat cu 1:

$div=(e_1+1)(e_2+2)(e_3+1)..(e_k+1)$

Numarul de divizori e 15:
$(e_1+1)(e_2+1)...(e_k+1)=15$
or
Avem doar un singur in care il putem scrie pe 15 ca produs de numere diferite de 1:
3 * 5

Deci exponentii e₁ si e₂ sunt 2 si 4 (am scazut 1 din fiecare factor)

$n=p_1^2\cdot p_2^4$

p₁ si p₂ sunt numere prime. Ca numarul sa fie cat mai mic, vom alege cele mai mici doua numere prime, care sunt 2 si 3.

$n=3^2\cdot 2^4=144$

Cel mai mic numar care are 15 divizori este 144.