Question

Care este ecuatia inaltimii din A stiind ca A(-1,2) B(3,-3) si C(4,-2)?

Answer 1

Notam cu H(a;b) punctul de intersectie intre inaltimea din A si dreapta BC.

Notam cu d1 dreapta care trece prin punctele B si C, si ii aflam ecuatia:
$d1: \frac{x-x_A}{x_B-x_A} = \frac{y-y_A}{y_B-y_A}$
$d1: \frac{x-3}{4-3} = \frac{y+3}{-2+3}$
$d1: x-3 = y+3$
$d1: y = x - 6$

Notam cu d2 dreapta care trece prin punctele A si H (inaltimea), si ii aflam ecuatia in functie de coordonatele lui H:
$d2: \frac{x+1}{a+1} = \frac{y-2}{b-2}$
$d2: (x+1)(b-2) = (y-2)(a+1)$
$d2: (b-2)x + (b-2) = (a+1)y - (2a-2)$
$d2: (b-2)x + (b+2a) = (a+1)y$
$d2: y = \frac{b-2}{a+1}x + \frac{b+2a}{a+1}$

Stim ca d1 si d2 sunt perpendiculare (din definitia inaltimii):
$m_1m_2 = -1$ (prin m se intelege panta)
$1 * \frac{b-2}{a+1} = -1$
$b-2 = -a-1 => b = -a + 1$

Ne intoarcem la ecuatia inaltimii:
$d2: y = -x + \frac{-a+1+2}{a+1}$
$d2: y = -x + 1$

Acum, pentru a-l afla pe H(a;b) ne folosim de ambele drepte, pentru ca apartine amandurora:
$\left \{ {{b = a-6} \atop {b = -a + 1}} \right. => a-6 = -a+1 => 2a = 7 => a = \frac{7}{2} => b = -\frac{5}{2}$
Formal: $H(\frac{7}{2}; -\frac{5}{2})$.

Sper ca te-a ajutat
Mexic