Question

Care este imaginea functiei

Answer 1

$(x+1)^2\geq 0\\ \\ \Rightarrow x^2+2x+1\geq 0\\ \\ \Rightarrow 2x\geq -x^2-1\\ \\ \Rightarrow 2x \geq -(x^2+1) \ | \ :(x^2+1); \ (Putem \ imparti \ deoarece \ x^2+1>0)\\ \\ \Rightarrow \frac{2x}{x^2+1}\geq -1\\ \\ (x-1)^2\geq 0 \\ \\ \Rightarrow x^2-2x+1 \geq 0 \\ \\ \Rightarrow -2x\geq -x^2-1\\ \\ \Rightarrow -2x\geq -(x^2+1) \ |\cdot (-1)\\ \\ \Rightarrow 2x\leq x^2+1\ |:(x^2+1)\\ \\ \Rightarrow \frac{2x}{x^2+1}\leq 1\\ \\ \\ \\ -1\leq \frac{2x}{x^2+1} \leq 1\\ \\ \Rightarrow Im_f=[-1; \ 1]$

Answer 2

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\\ \\\\y = \dfrac{2x}{x^2+1}\Rightarrow y(x^2+1) = 2x \Rightarrow yx^2+y =2x \Rightarrow \\\\ \\\Rightarrow yx^2-2x+y = 0\\ \\\\\Delta_{x}\geq 0 \Rightarrow (-2)^2 - 4y\cdot y \geq 0 \Rightarrow 4 - 4y^2 \geq 0 \Rightarrow\\\\\Rightarrow 4 \geq 4y^2 \Rightarrow y^2 \leq 1 \Rightarrow -1\leq y\leq 1 \Rightarrow y\in \big[-1,1\,\big]\\ \\ \\ \Rightarrow \boxed{Imf = \big[-1,1\,\big]}$

Trebuie pusă condiția Δ ≥ 0, deoarece dacă aflăm intervalul lui y pentru care x există, aflăm în același timp și imaginea funcției.