Question

care este inversa acestei functii?​

Answer 1

$f:[1,+\infty)\to [1,+\infty),\quad f(x) = x+\sqrt{x-1} \\ \\ x = y+\sqrt{y-1} \Rightarrow x-y = \sqrt{y-1} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x^2-2xy+y^2 = y-1 \Rightarrow y^2 -(2x+1)y + x^2+1 = 0\\ \\ \Delta = (2x+1)^2 - 4\cdot(x^2+1) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow y_{1,2} = \dfrac{2x+1 \pm \sqrt{(2x+1)^2 - 4\cdot(x^2+1)}}{2} \\ \\ \Rightarrow f^{-1}:[1,+\infty)\to [1,+\infty),\quad f^{-1}(x) = \dfrac{2x+1-\sqrt{4x-3}}{2}$

Nu putea fi cu + deoarece f(x) deja e concavă fiindcă e numai cu +, asta înseamnă că inversa trebuie să fie convexă, adică să fie cu minus.