Question

Care este mai exact teoria famililor de parabole? Adică, cum aflam daca o familie are un punct fix pe o dreapta/ are un punct fix pe o bisectoare/ are doua puncte/ are trei puncte/ nu are puncte/ parabolele sunt tangente etc...? Vreun site de unde as putea sa o învăț sau daca poate cineva sa mi-o explice? Mulțumesc anticipat!

Answer 1

Parabolele  sunt tangente dacă au un singur punct comun P(x, y), adică:

[tex]\it f_a(x)=g_a(x) \Rightarrow ax^2-(a+2)x-1=x^2-x-a \Rightarrow \\\;\\ \Rightarrow (a-1)x^2 -(a+1)x +a-1 = 0[/tex]

Această ecuație trebuie să aibă o singură soluție, ceea ce se realizează

dacă discriminantul este egal cu zero.

[tex]\it \Delta = (a+1)^2-4(a-1)^2= a^2 + 2a + 1 - 4(a^2 - 2a + 1) = \\\;\\ a^2+2a+1-4a^2+8a-4 = -3a^2+10a-3 \\\;\\ \Delta = 0 \Rightarrow -3a^2+10a-3 =0|_{\cdot(-1)} \Rightarrow 3a^2-10a+3=0 \Rightarrow [/tex]

[tex]\it \Rightarrow 3a^2-9a-a+3 = 0 \Rightarrow 3a(a-3) -(a-3) =0 \Rightarrow \\\;\\ \Rightarrow (a-3)(3a-1) = 0 \Rightarrow \begin{cases}\it 3a-1=0\Rightarrow a_1=\dfrac{1}{3}\\ \\ \it a-3=0\Rightarrow a_2=3 \end{cases}[/tex]