Question

Care este numărul maxim de numere pe care
le putem alege dintre numerele 1, 2, 3,..., 2019,
astfel încât suma oricăror două numere din-
tre numerele alese să fie divizibilă cu 4 ?

Answer 1

Răspuns:

505

Explicație pas cu pas:

Pentru ca suma ORICAROR 2 numere dintre cele alese sa fie div cu 4,avem 2 cazuri:

1.numerele sunt de forma 4k,k€N*

In multimea 1,2,3,...,2019 sunt [2019/4] astfel de numere,adica 504.

2.numerele sunt de forma 4k+2,k€N

In multimea 1,2,3,...,2019 sunt [2019/4]+1=505

Demonstratie:Fie multimea 1,2,3,...,x

a)daca x=4k+2 sau 4k+3,k€N,atunci in multime vor fi [x/4]+1 numere de forma 4k+2

b)daca x=4k sau 4k+1,k€N,atunci in multime vor fi [x/4] numere de forma 4k+2

2019 este de forma 4k+3(4•504+3),deci intram in cazul a).

Din 1 si 2 => numarul maxim este 505