Question

Care este perimetrul cel mai mic pe care il poate avea un poligon convex cu 12 laturi, daca varfurile lui sunt noduri ale unei retele de patratele de latura 1?

Answer 1

Un poligon convex nu poate avea 3 laturi paralele. De aceea, maxim 4 dintre laturile lui pot avea lungimea 1 (dacă avem 5 segmente de lungime 1 cu extremităţile puncte laticiale, cel puţin trei vor fi la fel orientate -orizontal sau verticcal-deci vor fi paralele).
În mod analog deducem că cel mult 4 laturi au lungimea $\sqrt 2$, şi cel mult 4 au lungimea $\sqrt 5$ (acestea fiind cele mai mici distanţe supraunitare între puncte laticiale).

Astfel, răspunsul este $4(1+\sqrt2 +\sqrt 5)$, un exemplu de astfel de poligon fiind cel din figura ataşată.