Question

Care este soluția ecuației log2(9-2^x)=10^lg(3-x)?

Answer 1

Conditiile de existenta sunt clare, solutiile sunt doua,din care una nu verifica conditiile de domeniu, deci singura solutie este x=0 !

Answer 2

C.E.

2^x<9
x<log in baza 2din9
si x<3
ramane x<3=log 2 din8<log2din9
x∈(-∞;3)

10^ lg(3-x)=3-x
atunci ecuatia devine
log in baza 2 din (9-2^x)=3-x
adica
2^(3-x)=9-2^x

se observa ca x=0 verifica
intr-adevar
2³=9-1

Extra
Exista si alta solutie??

Pt restul , am folosit derivata 1
3-x descrescatoare, 2^x crescatoare, deci 2^(3-x) descrescatoare
9-2^x =-2^x+9 deasemenea descrescatoare, pt ca 2^x este crescatoare

fie functiile f(x) =-2^x+9
si
g(x)=2^(3-x)=8*2^(-x)
la x=0 au aceasi valoare, 8
Deci sigur x=0 este solutie


pt x∈Domeniului de def,(-∞;3) 
f(x) scade cu panta f'(x)=-2^x*ln2
si g(x) scade cu panta g'(x)=8*(-1) *2^(-x)ln2=-8 *2^(-x)ln2

comparam
-2^x cu -8*2^(-x)
sau
2^x cu 8*2^(-x)
pantele sunt diferite exceptand 2^(2x) =8, x=3/2
si o panta creste, una scade
deci e posibil ca solutia x=0 sa nu fie unica, dar asa nu pot sa aflu a doua solutie a ecuatiei 2^(3-x)=9-2^x, in caz ca aceasta exista
ALTFEL
2^(3-x) scade de la +∞ catre 1) cand x creste pe dom dedef de la -∞ catre  3)

9-2^x scade de la 9 catre 1) cand x creste pe dom de def de la  -∞ catre 3)
da, inseamna ca a doua solutie nu exista pt ca ar exista daca x ar fi putea fi 3, dar x nu poate fi 3; la 3 intervalul este deschis
intr-adevar 2^0=9-8 dar din pacate e un calcul far obiect, x nu poatefi 3

am folosit si indiciul 'aflati solutia"