Question

Care este valoarea parametrului rațional m, dacă ecuația

${x}^{4} - 7 {x}^{3} + (13 + m) {x}^{2} - (3 + 4m)x + m = 0$
admite soluția
$x1 = 2 + \sqrt{3}$
și soluțiile x3, x4 verifică relația x3=2*x4?

​

Answer 1

Daca un polinom admite o solutie x1 de forma x1=a+√b atunci va admite si o solutie x2=a-√b

Stiind asta, putem afla din relatiile lui Viete si pe x3,x4.

S1=x1+x2+x3+x4=-b/a=7

2+√3+2-√3+x3+x4=7 ⇒ 4+2·x4+x4=7 ⇒ 3x4=3 ⇒ x4=1

Si astfel x3=2.

Acum putem calcula f(1)=0 de unde il scoatem pe ''m''.

f(1)=1-7+13+m-3+4m+m=0 ⇒ m=...

*Nota: teoretic, am fi putut calcula f(2+√3)=0 de unde il scoteam pe ''m'', dar calculul ar fi fost cu muuult mai lung. De asta e mai bine sa mergem pe varianta asta