Question

Care imi explica si mie metoda gaus va rog sa zicem:

1+2+3+...+123=

Answer 1

1+2+3+....+n
sa zicem ca n este 123
deci aceasta suma este egala cu n(n+1) totul supra 2
adica 123(123+1) totul supra 2= (123 × 124)/2 =  15252 :2 = 7626

Answer 2

Daca vrei explicatia Sumei Gauss, iat-o: Notam cu S suma primelor n numere consecutive (nenule, ca oricum 0 nu conteaza in suma):
S=1+2+3+...+(n-1)+n
Metoda I:
Gauss a observat ca daca scrii aceeasi suma S, dar cu termenii in ordine descrescatoare (folosesti proprietatea de comutativitate a adunarii), si le asezi pe cele doua sume una sub alta, ai:
S=1+  2   +  3  + ...  +(n-1)+n
S=n+(n-1)+(n-2)+ ...  +  2  +1
Observam ca, daca adunam cele doua sume membru cu membru, obtinem, in membrul drept, n perechi de cate (n+1), care provin din gruparea primului termen de la prima suma cu primul termen din a doua suma, apoi grupam al doilea termen de la prima suma cu al doileatermen din a doua suma, etc:
2*S=(1+n)+[2+(n-1)]+[3+(n-2)]+...+[(n-1)+2]+(n+1)
2*S=n*(n+1)
S=$\frac{n*(n+1)}{2}$

Metoda II:
Analizam cazurile:
a) Daca n=nr par=2*k, unde k este nr natural nenul, avem:
S=1+2+3+...+(n-1)+n=
  =1+2+3+4+....+(k-2)+(k-1)+k+(k+1)+(k+2)...+(2k-1)+2k=
  =1+2+3+4+....+(k-2)+(k-1)+k+(k+1)+(k+2)...+[k+(k-1)]+(k+k)=

Cum avem un nr par=2k de termeni in suma S, inseamna ca ii putem grupa cate 2 astfel: primul cu ultimul, al doilea cu penultimul, etc. si obtinem k grupe de cate doi termeni, ultima grupa fiind k+(k+1) (observam ca primul termen din pereche numara perechea la care am ajuns) si suma din fiecare pereche astfel obtinuta este 2*k+1=n+1.

Deci S=k*(2*k+1)=$\frac{n}{2} *(n+1)= \frac{n*(n+1)}{2}$
q.e.d.

b) Daca n=nr impar=2k+1, unde k este nr natural nenul, avem:
S=1+2+3+...+(n-1)+n=
  =1+2+3+4+....+(k-2)+(k-1)+k+(k+1)+(k+2)+...+(2k-1)+2k+(2k+1)=
  =1+2+3+4+....+(k-2)+(k-1)+k+(k+1)+(k+2)+...+[k+(k-1)]+(k+k)+(k+k+1)=

Cum avem un nr impar=2k+ de termeni in suma S, inseamna ca ii putem grupa cate 2 la fel ca mai sus, dar mai ramane un termen (cel din mijloc, adica k+1) fara pereche, pe care il lasam ca atare, astfel: primul cu ultimul, al doilea cu penultimul, etc. si obtinem k grupe de cate doi termeni, ultima grupa fiind k+(k+2) si suma din fiecare pereche astfel obtinuta este 1+(2k+1)=2+2k=....=k+(k+2)=2k+2 =n+1.

Deci
S=k*(2*k+2)+(k+1)=$\frac{n-1}{2} *(n+1)+ \frac{n+1}{2} = \frac{(n-1)*(n+1)}{2} + \frac{n+1}{2}$=
=$\frac{(n+1)*[(n-1)+1]}{2}= \frac{n(n+1)}{2}$

c.c.t.d.