care nr palindrom au proprietatea ca adunate cu 2019 sa dea tot un nr palindrom.
Răspunsuri la întrebare
Vom căuta, pentru început, printre numerele „palindrom” cu puține cifre.
1) Pentru numerele cu o singură cifră, fie aceasta a, ar trebui ca 2019+a să fie „palindrom”.
Ordinul de mărime a cifrei miilor nu se modifică, așadar a este 3, iar 2019+3=2022 nu este
„palindrom”.
2) Pentru numerele de două cifre, evident identice 2019+aa este „palindrom” dacă a=3.
Dar 2019+33=2052 nu este „palindrom”.
3) Pentru aba (numere de trei cifre), avem 2019+aba =xyyx 1
Cifra x este 2 sau 3 pentru că aba este cel mult 999. Chiar este ușor de verificat ca x este 3 pentru puține cazuri. O trecere peste ordin la cifra sutelor se întâmplă pentru numerele cel puțin egale cu 981, iar în acest caz 989 și 999 sunt singurele numere de tip „palindrom” și
niciunul nu satisface cerințele problemei.
Pentru x =2⇒a =3 și 1 devine 2019+3b3=2yy2 ⇔32+b =11y⇔33+b−1=11y
⇒b−1 ⋮11⇒ b =1, y =3
2019+313=2332 și reținem soluția aba=313
4) Dacă „palindromul” are 4 cifre obținem că 2019+abba =cddc. Numerele
„palindrom” sunt divizibile cu 11, pe când 2019 nu este divizibil cu 11.
5) În cele din urmă vom demonstra că nu mai avem alte numere care să se bucure de această proprietate
a 1 a 2 a 3 ⋯ a 3 a 2 a 1
2019
b1 b2 b3 ⋯ b3 b2 b1
+
Dacă a 1 =1⇒b1 =0 (nu convine)
Dacă a 1 >2⇒b1 =a 1−1ca ultimă cifră și b1 =a 1 sau b1 =a 1+1 ca primă cifră (nu
convine)
În concluzie există un singur număr aba =313 care satisface cerințele problemei.
Sper că te-am ajutat!