Question

cat este 1 + 3 + 5 +. ............................+ 2013

Answer 1

SUMĂ DE  NR. IMPARE
ex. 1+ 3+ 5+ 7+ ...+ 2 013=

p₁: Se scrie fiecare termen ca o sumă de doi termeni dintre care unul este 1.
1+(1+1)+(1+2)+(1+3)+....+(1+ 2 012)=

p₂: Se separă suma în două sume: una formată din termeni în care se repetă 1, iar cealaltă formată din termeni pari din 2 în 2.
(1+ 1+ 1+ 1+ ...+1)+(2+ +4+ 6+ ...+2 012)=

p₃: Se transformă suma de termeni egali într-o înmulţire, iar la cea de nr. par, fiecare nr. se scrie ca unprodos de doi factori dintre care unul este 2.
1·1 007+2· 1+2· 2+2·3+ ...+2·1 006=  

OBSERVAŢIE: de la 1 la 100=100 nr. ,     50 nr. pare
                                                               50 nr. impare
                       de la 1 la 1 000= 1 000,   500= nr. pare
                                                             500= nr. impare
                       de la 1 la 2 013= 2 013  1 006= nr.pare
                                                            1 007=nr. impare
                       
Din acest motiv 1 se repetă de 1 007 de ori.

p₄: Se dă factor comun pe 2.
1 007+2·(1+ 2+ 3+ ...+ 1 006)=

p₅:Se aplică suma Gauss din 1 în 1.
1 007+2·1 006·1 007:2=

p₆: Se rezolvă.
1 007+1 006·1 007=
1 007·1+1 006·1 007=
1 007·(1+1 006)=
1 007·1 007=
1 014 049           

Answer 2

$\displaystyle 1+3+5+...+2013 \\ \\ 2013=1+(n-1) \times 2 \\ \\ 2013=1+2n-2 \\ \\ 2n=2013-1+2 \\ \\ 2n=2014 \\ \\ n= \frac{2014}{2} \\ \\ n=1007$

$\displaystyle S_{1007}= \frac{2+1006 \times 2}{2} \times 1007 \\ \\ S_{1007}= \frac{2+2012}{2} \times 1007 \\ \\ S_{1007}= \frac{2014}{2} \times 1007 \\ \\ S_{1007}=1007 \times 1007 \\ \\ S_{1007}=1014049$