Question

Cat este integrala din (cosx-1/cosx)^2 ?

Answer 1

cos(x) / ( 1 + cos(x) ) = [cos(x) / (1 + cos(x) )][ (1 - cos(x))/(1-cos(x))] 
= cos(x)(1 - cos(x))/ ( (1+cos(x))(1-cos(x)) ) 
= cos(x)(1-cos(x) )/ ( 1-cos^2(x) ) 
= cos(x)(1 - cos(x))/sin^2(x) 
= (cos(x) - cos^2(x)) / sin^2(x) 
= (cos(x) - (1 - sin^2(x)) / sin^2(x) 
= (cos(x) - 1 + sin^2(x) ) / sin^2(x) 
= cos(x)/sin^2(x) - 1/sin^2(x) + sin^2(x)/sin^2(x) 
= cos(x)sin^2(x) - cosec^2(x) + 1 

Thus, 
int ( cos(x)/(cos(x) + 1) dx ) = int( cos(x)/sin^2(x) dx ) - int(cosec^2(x) dx) + int(dx) 
= -1/sin(x) + cot(x) + x + C ; C = integration constant 
= -cosec(x) + cot(x) + x + C 

Answer 2

= cos²x - 2 ·cosx · 1 /cosx  + 1 / cos²x =  cos²x - 2 + 1 /cos²x 
cos2x = 2cos²x - 1     ⇒ cos² x = [ 1 + cos2x ]  /2
ex = 1 /2   +(  cos2x )  /2       - 2   + 1 /cos²x =
= ( cos2x ) /2   + 1 /cos²x  - 3 /2     
integram = 1 /2  · sin2x /2    +  tgx  - 3x /2        + C 
= sin2x / 4      +  tgx    - 3x /2 + C