Question

cat este ∫sin²x dx ? dar ∫ sin(lnx) dx ?

Answer 1

cos2x=cos²x-sin²x=1-2sin²x  =>sin²x=1-cos2x+>
∫sin²xdx=∫(1-cos2x)dx=∫dx-∫cos2xdx=x-1/2sin2x+C
_______________________
F(x)=∫sin (lnx)dx
Se  rezolva  prin  parti
sin (lnx)=u du=1/xcos(lnx) dx=dv  v=x
F(x)=u*v-∫vdu=
x*sinlnx-∫x*1/x*cos(lnx)+c=X*sin lnx-∫cos(lnx)dx  relatia 1
Se  reia  integrarea  prin  parti
∫cos lnxdx=
cos lnx=u1  =>du1=-sin lnx*1/x  dx=dv1=.> v1=x
∫cos lnxdx=x*coslnx-∫(-sinlnx*1/x)*xdx=x*coslnx+∫sin lnx(care  este  F(x)
Inlocuiesti  in  relatia  1  si  obtii
F(x)=x*sin lnx-(x*cos lnx)-F(x)=>
2F(x)=x*sin lnx-x*cos lnx+C
F(x)=x/2*(sin lnx-cos lnx)+C