Question

Cat face (3/2+4/3+5/4+...+1909/1908)-(1/2+1/3+1/4.....+1/1908)

Answer 1

Salut,

Mai întâi, trebuie să aflăm câți termeni sunt în prima paranteză și câți sunt în a doua paranteză:

1). Pentru prima paranteză, observăm numărătoarele fracțiilor: 3, 4, 5, ... 1909. Deci numărul de termeni din prima paranteză este egal cu numărul de termeni ai șirului 3, 4, 5, .., 1909.

Acest șir are 1909 - 2 = 1907 termeni (dacă șirul ar începe de la 1, nu de la 3, am avea exact 1909 termeni - cei 2 care lipsesc = 1907);

2). Pentru a doua paranteză, observăm numitoarele fracțiilor: 2, 3, 4, ... 1908. Deci numărul de termeni din a doua paranteză este egal cu numărul de termeni ai șirului 2, 3, 4, .., 1908.

Acest șir are 1908 - 1 = 1907 termeni (dacă șirul ar începe de la 1, nu de la 2, am avea exact 1908 termeni - cel care lipsește = 1907).

Deci fiecare paranteză are câte 1907 termeni. Adică avem 1907 perechi de termeni.

Scriem enunțul altfel: primul ternen din prima paranteză minus primul termen din a doua paranteză + al doilea termen din prima paranteză minus al doilea termen din a doua paranteză și așa mai departe până la perechea nr. 1907:

$\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{5}{4}-\dfrac{1}{4}\right)+\ldots+\left(\dfrac{1909}{1908}-\dfrac{1}{1908}\right)=\\\\=\dfrac{2}{2}+\dfrac{3}{3}+\dfrac{4}{4}+\ldots+\dfrac{1908}{1908}=\underbrace{1+1+\ldots+1}_{\big{de\ 1907\ ori}}=1907.$

Simplu, nu ? :-))).

Green eyes.

P.S. Dacă urmărești cu atenție rezolvarea de mai sus, vei observa ușor că expresia din enunț nu are cum să "dea" 1908, ceva nu este în regulă cu răspunsul din manual, sau din culegere. Înțelegi ?