Question

Cat face $(1-i\sqrt{3})^3 ~~, ~ \text{i este numar complex i}^2\text{=~-1}$

Answer 1

Răspuns:

Cel mai simplu e babeste, dupa regula:

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Atunci: $(1-i\sqrt 3)^3 = 1 - 3(i\sqrt 3) + 3(i\sqrt 3)^2 - (i\sqrt 3)^3 = 1 - 3\sqrt 3 i + 3\cdot (-3) + 3\sqrt 3 i = 1 - 9 = -8$.

Se poate face si cu forma trigonometrica:

Fie $z=1-i \sqrt 3$. Atunci $|z|=\sqrt{1+(\sqrt 3)^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt 4 = 2$. Deci

$z=2(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2(\cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} )$

Rezulta ca $z^3 = 8 (\cos \pi - i \sin \pi) = 8\cdot(-1) = - 8$.