Question

cate nr impare dau la impartirea cu 2012 catul egal cu restul?

Answer 1

a. Aplicam T. impartirii cu rest : N=2012*r+r unde r<2012 rezulta ca N=par +r deci paritatea lui N este aceeasi cu a lui r. 
Din r<2012 rezulta 1006 resturi impare si 1006 pare daca includem cazul r=0. 
Prin urmare sunt 1006 numere impare. 
b.N=2012*r +r=2013r 
Suma lor este S=2013*1+2013*3+...+2013*2011=2013*(1+3+...+2011)=(2012+1)*(1+3+...+2011)=M2012+1+3+...+2011 unde M2012=multiplul lui 2012 
Deci restul impartirii sumei S la 2012 este acelasi cu restul impartirii sumei (1+3+...+2011) la 2012. 
1+3+..+2011=1+2+3+..+2010+2011-(2+4+...+2010)=(1+2011)*2011/2-2*(1+1005)*1005/2=1006*2011-1006*1005=1006*(2011-1005)=1006*1006=2012*503 rezulta restul cautat este 0. 
Am aplicat de 2 ori formula Gauss.......

Answer 2

In primul rand, restul trebuie sa fie mai mic decat 2012.

Apoi, aplicand impartirea cu rest, numarul acela trebuie sa arate asa:

$N=2012q+r$

Dar $q=r$ ,  deci avem:

$N=2012r+r\\ \\ N=2013r$

Cu alte cuvinte, numerele acelea impare trebuie sa fie multipli ai lui 2013, iar $r$  trebuie sa fie impar si el, ca altfel nu e bine.

Deducem atunci ca $r=\{1,3,5,...,2011\}$
adica sunt 1006 posibilitati.