Question

Câte numere naturale de patru cifre dau resturile 9, 5,11 prin împărțire la 11, 7 și, respectiv, 13? a)8 b)9 c)7 d)10 e)6

Answer 1

Răspuns: 8 → numere naturale de patru cifre ce respectă condițiile problemei

Explicație pas cu pas:

Notăm cu n → numerele de patru cifre ce respectă condițiile problemei

n : 11 = c₁ rest 9 ⇒ n = 11c₁ + 9     │+2   ⇒

n : 7 = c₂ rest 5 ⇒ n = 7c₂ + 5     │+2   ⇒

n : 13 = c₃ rest 11 ⇒ n = 13c₃ + 11  │+2   ⇒

 

n + 2 = 11c₁ + 11 ⇒ n + 2 = 11 · (c₁ + 1)  ⇒ 11│(n + 2)

n + 2 = 7c₂ + 7 ⇒ n + 2 = 7 · (c₂ + 1)  ⇒ 7│(n + 2)

n + 2 = 13c₃ + 13 ⇒ n + 2 = 13 · (c₃ + 1)  ⇒ 13│(n + 2)    

                             (n + 2) ∈ cmmmc [11, 7, 13]

cmmmc [9, 5, 13] = 11 · 7 · 13

cmmmc [9, 5, 13] = 101

asfel n + 2 ∈ M₁₀₀₁

dar n = număr de patru cifre ⇒ n ≥ 1000

M₁₀₀₁ = {1001; 2 · 1001; 3 · 1001; 4 · 1001; ......; 9 · 1001}

M₁₀₀₁ = {1001; 2002; 30003; 4004; ......; 9009}

n + 2 ∈ {1001; 2002; 30003; 4004; ......; 9009}   |-2

n ∈ {1001 - 2; 2002 - 2; 3003 - 2; ......; 9009 - 2}

n ∈ {999; 2000; 3001; ......; 9007}

dar n ≥ 1000 ⇒ n = 999 nu convine ⇒ n ∈ {2000; 3001; ......; 9007}

n ∈ {2000; 3001; ......; 9007}

Total numere = (9007 - 2000) : 1001 + 1

Total numere = 7007 : 1001 + 1

Total numere = 7 + 1

Total numere = 8 → numere naturale de patru cifre ce respectă condițiile problemei

==pav38==

Sper să fie de folos răspunsul meu chiar dacă vine cu 4 zile întârziere față de când ai postat exercițiul.  

Baftă multă !