Question

Câte numere naturale de patru cifre dau resturile 9, 5, 11 prin împărțire la 11, 7 și, respectiv, 13?

Answer 1

Răspuns: 8 → numere naturale de patru cifre ce respectă condițiile problemei

Explicație pas cu pas:

Notăm cu a → numerele de patru cifre ce respectă condițiile problemei

a : 11 = c₁ rest 9 ⇒ a = 11c₁ + 9     │+2   ⇒

a : 7 = c₂ rest 5 ⇒ a = 7c₂ + 5     │+2   ⇒

a : 13 = c₃ rest 11 ⇒ a = 13c₃ + 11  │+2   ⇒

 

a + 2 = 11c₁ + 11 ⇒ a + 2 = 11 · (c₁ + 1)  ⇒ 11│(a + 2)

a + 2 = 7c₂ + 7 ⇒ a + 2 = 7 · (c₂ + 1)  ⇒ 7│(a + 2)

a + 2 = 13c₃ + 13 ⇒ a + 2 = 13 · (c₃ + 1)  ⇒ 13│(a + 2)    

                             (a + 2) ∈ cmmmc [11, 7, 13]

cmmmc [9, 5, 13] = 11 · 7 · 13

cmmmc [9, 5, 13] = 1001

a + 2 ∈ M₁₀₀₁

dar a = număr de patru cifre ⇒ a ≥ 1000

M₁₀₀₁ = {1001; 2 · 1001; 3 · 1001; 4 · 1001; ......; 9 · 1001}

M₁₀₀₁ = {1001; 2002; 30003; 4004; ......; 9009}

a + 2 ∈ {1001; 2002; 30003; 4004; ......; 9009}   |-2

a ∈ {1001 - 2; 2002 - 2; 3003 - 2; ......; 9009 - 2}

a ∈ {999; 2000; 3001; ......; 9007}

dar a ≥ 1000

a = 999 nu convine ⇒ a ∈ {2000; 3001; ......; 9007}

Total numere = (9007 - 2000) : 1001 + 1

Total numere = 7007 : 1001 + 1

Total numere = 7 + 1

Total numere = 8 → numere naturale de patru cifre ce respectă condițiile problemei

==pav38==

Sper să fie de folos răspunsul meu chiar dacă vine cu 4 zile întârziere față de când ai postat exercițiul.  

Baftă multă !