Question

Câte numere naturale de patru cifre dau resturile 99, 55, 1111 prin împărțire la 1111, 77 și, respectiv, 1313?
9
8
7
6
10

Answer 1

a:11=c₁ rest 9

a:7=c₂ rest 5

a:13=c₃ rest 11

a=11c₁+9=11c₁+11-2

a=7c₂+5=7c₂+7-2

a=13c₃+11=13c₃+13-2

• Dam factor comun si obtine

a=11(c₁+1)-2

a=7(c₂+1)-2

a=13(c₃+1)-2

Adica

a+2=11(c₁+1)

a+2=7c₂+1)

a+2=13(c₃+1)

a+2 divizibil cu {11,7,13}

cmmmc [11,7,13]=11×7×13=1001

• Dar a trebuie sa fie un numar de patru cifre

Deci a+2={1001,2002,3003,...,9009}

a={2000,3001,....9007}

Raspuns: In total sunt 8 numere

Answer 2

Răspuns: 8 → numere naturale de patru cifre ce respectă condițiile problemei

Explicație pas cu pas:

Notăm cu n → numerele de patru cifre ce respectă conditiile problemei

n : 11 = c₁ rest 9 ⇒ n = 11c₁ + 9   │+2

n : 7 = c₂ rest 5 ⇒ n = 7c₂ + 5   │+2

n : 13 = c₃ rest 11 ⇒ n = 13c₃ + 11   │+2

 

n + 2 = 11c₁ + 11 ⇒ n + 2 = 11 · (c₁ + 1)  ⋮ 11

n + 2 = 7c₂ + 7 ⇒ n + 2 = 7 · (c₂ + 1)  ⋮ 7

n + 2 = 13c₃ + 13 ⇒ n + 2 = 13 · (c₃ + 1)  ⋮ 13  

               (n + 2) ∈ cmmmc [11, 7, 13]

11 = 11

7 = 7

13 = 13                  

cmmmc [9, 5, 13] = 11 · 7 · 13

cmmmc [9, 5, 13] = 101

n + 2 ∈ M₁₀₀₁

n = număr de patru cifre

M₁₀₀₁ = {1001; 2 · 1001; 3 · 1001; 4 · 1001; ......}

M₁₀₀₁ = {1001; 2002; 30003; 4004; ......; 9009}

n ≥ 1000 ⇒ n + 2 ∈ M₁₀₀₁

n + 2 ∈ {1001; 2002; 30003; 4004; ......; 9009}   |-2

n ∈ {1001 - 2; 2002 - 2; 3003 - 2; ......; 9009 - 2}

n ∈ {999; 2000; 3001; ......; 9007}

dar n ≥ 1000 ⇒ n = 999 nu convine ⇒ n ∈ {2000; 3001; ......; 9007}

n ∈ {2000; 3001; ......; 9007}

Avem în total (9007 - 2000) : 1001 + 1 = 7007 : 1001 + 1 = 7 + 1 = 8 → numere naturale de patru cifre ce respectă condițiile problemei

==pav38==

Sper să fie de folos răspunsul meu chiar dacă vine cu 4 zile întârziere față de când ai postat exercițiul.  

Baftă multă !