Question

Cate solutii are ecuatia? $\sqrt[5]{2x+1+2\sqrt{x^2+1} } + \sqrt[5]{2x+1-2\sqrt{ x^2+1} } =2$

Answer 1

Se noteaza cei 2 radicali cu a, respectiv cu b, unde a,b ∈R a.i. a >=0 si b >= 0.

Prin inmultirea acestora obtinem ⁵√(2x+1)²-4(x²+x) =⁵√4x² +4x +1 -4x² -4x = 1 si in continuare obtinem sistemul

a +b = 2

a·b =1 => a +1/a =2 <=> (a-1)² = 0 <=> a-1 = 0 => a = 1, iar prin inlocuire rezulta ca b = 1.

Asadar, 2x +1 +2·√x² +x =1 <=> 2x +2·√x² +x = 0 <= x +√x² +x = 0 <=> √x ·√x +√x ·√x+1 =0 <=> √x·(√x +√x+1) =0 => √x = 0, adica x = 0 sau √x +√x+1 = 0, care este imposibil pentru orice x ∈R, x >=0, deoarece √x +√x+ 1 >= 0+1 =1 >0.

In concluzie, S ={0}.