Question

cate submultimi cu un nr impar de elemente are multimea A{1,2,3,4,5,6}?

Answer 1

o mulțime cu n elemente are  $\bf 2^{n}$  submulțimi

mulțimea A = {1,2,3,4,5,6} are $\bf 2^{6}$ submulțimi: 1 submulțime fără niciun element (∅), 31 de submulțimi cu număr par de elemente și 32 de submulțimi cu număr impar de elemente

• mulțimea vidă ∅ este submulțime a oricărei mulțimi
• submulțimi cu 1 element: {1}; {2}; ...; {6} → 6 submulțimi
• submulțimi cu 2 elemente: {1,2}; {1,3}; ...; {5,6} → 15 submulțimi
• submulțimi cu 3 elemente: {1,2,3}; {1,3,4}; ...; {4,5,6} → 20 submulțimi
• submulțimi cu 4 elemente: {1,2,3,4}; ...; {3,4,5,6}  → 15 submulțimi
• submulțimi cu 5 elemente: {1,2,3,4,5}; ...; {2,3,4,5,6} → 6 submulțimi
• submulțimi cu 6 elemente: {1,2,3,4,5,6} → 1 submulțime

numărul submulțimilor cu număr impar de elemente este:

$6+20+6= \bf 32$

formula prin care determinăm este:

$C_{6}^{1} + C_{6}^{3} + C_{6}^{5} = \dfrac{6!}{1! \cdot 5!} + \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} + \dfrac{6!}{5! \cdot 1!} = \dfrac{6}{1} + \dfrac{120}{6} + \dfrac{6}{1} = 6 + 20 + 6 = \bf 32$

iar numărul submulțimilor cu număr par de elemente este 31:

$C_{6}^{2} + C_{6}^{4} + C_{6}^{6} = \dfrac{6!}{2! \cdot 4!} + \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} + \dfrac{6!}{6! \cdot 0!} = \dfrac{30}{2} + \dfrac{30}{2} + \dfrac{6}{6} = 15 + 15 + 1 = \bf 31$

→ sunt 32 submulțimi cu număr impar de elemente