Question

Cate zerouri sunt in produsul 1x2x3x... x53 ?

Answer 1

Răspuns:

12

Explicație pas cu pas:

Produsul 1*2*...*53 se notează 53!.

Aplicam formula lui Legendre.

In descompunerea în factori primi, un număr n este scris sub forma: n=p1^a1*p2^a2*...*pk^ak.

Numărul de zerouri alea unui factorial este dat de apariția puterilor lui 5.

Notăm A_n(5) puterea la care apare 5 in descompunerea în factori primi.

Știm că A_n(5)=[n/p]+[n/p²]+...+[n/p^k].

Vom suma părțile întreg cat timp n>p^k, unde k este o putere. Daca n<p^k, atunci partea întreaga a numărului n/p^k este 0 și nu ne influențează calculul.

In cazul nostru, n este 53.

Observăm că 5²=25<53 și 5³=125>53. Deci sunam până la 5².

A_53(5)=[53/5]+[53/25]=10+2=12.