Question

Ce artificii de calcul trb facute? e preea grru sa aplic l`hopital de 3 ori​

Answer 1

Limită remarcabilă:

$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{\sin\Big(u(x)\Big)}{u(x)} = 1,\quad \text{cand }u(x)\to 0$

Cheia de rezolvare e să scap de acel x³ de la numitor și să îl înlocuiesc cu sin x.

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x - \sin(\sin x)}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\Bigg[\dfrac{\sin x - \sin(\sin x)}{\sin^3 x} \cdot \Big(\dfrac{\sin x}{x}\Big)^3\Bigg]= \\ \\ =\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x - \sin(\sin x)}{\sin^3 x}\cdot 1^3\overset{(*)}{=}\\ \\\text{Notez}\,\, \sin x = t \Rightarrow t\to 0\\ \\ \overset{(*)}{=} \lim\limits_{t\to 0}\dfrac{t - \sin t}{t^3} =\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{1 - \cos t}{3t^2} = \lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{6t}= \lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\cos t}{6}= \boxed{\dfrac{1}{6} }$