Question

Ce e aia divizor comun.

Answer 1

Este un termen de tip multiplu pentru alți

ex: 12 și 16 au divizor comun pe 3 , dar și pe 4 , deoarece împărțirea lor la 3 sau 4 nu dă rest

ex:20 și 60 au divizor comun pe 10 , deoarece împărțirea lor la 10 nu dă rest

Answer 2

Un număr întreg
se numește cel mai mare divizor comun (prescurtat c.m.m.d.c.) a numerelor întregi
A și
b
dacă și numai dacă pentru orice divizor comun
c
{\displaystyle c} al lui
a
{\displaystyle a} și
b
{\displaystyle b},
c
{\displaystyle c} este un divizor al lui
d
{\displaystyle d}.

Este numit c.m.m.d.c. un număr întreg
d
{\displaystyle d} având proprietățile:

d
|
a
{\displaystyle d|a} și
d
|
b
{\displaystyle d|b} (
d
{\displaystyle d} este divizor comun al numerelor
a
{\displaystyle a} și
b
{\displaystyle b});
orice alt divizor comun
d
′
{\displaystyle d'} al numerelor
a
{\displaystyle a} și
b
{\displaystyle b} divide pe
d
{\displaystyle d} (adică (
d
′
|
a
{\displaystyle d'|a} și
d
′
|
b
=>
d
′
|
d
{\displaystyle d'|b=>d'|d})).
Teorema:
Fie
a
{\displaystyle a} și
b
{\displaystyle b} două numere întregi. Atunci există exact două numere întregi opuse,
d
{\displaystyle d} și
(
−
d
)
{\displaystyle (-d)}, cu statut de c.m.m.d.c. al numerelor
a
{\displaystyle a} și
b
{\displaystyle b}.

Observație: Numărul pozitiv dintre cele două se noteaza
(
a
;
b
)
{\displaystyle (a;b)}, iar valoarea sa se calculează folosind algoritmul lui Euclid.

Teorema:
Fie
a
{\displaystyle a} și
b
{\displaystyle b} două numere întregi și
d
{\displaystyle d} un c.m.m.d.c. al lor (oricare din cei doi). Atunci există două numere întregi,
k
1
{\displaystyle k1} și
k
2
{\displaystyle k2}, astfel încât
d
{\displaystyle d}
=
{\displaystyle =}
k
{\displaystyle k}
1
{\displaystyle 1}
.
{\displaystyle .}
a
{\displaystyle a}
+
{\displaystyle +}
k
{\displaystyle k}
2
{\displaystyle 2}
.
{\displaystyle .}
b
{\displaystyle b}.

Exemplu:
Dacă
−
3
=
(
6
;
9
)
{\displaystyle -3=(6;9)}, atunci există numerele întregi
−
2
{\displaystyle -2} și
1
{\displaystyle 1}, astfel încât
−
{\displaystyle -}
3
{\displaystyle 3}
=
{\displaystyle =}
(
{\displaystyle (}
−
{\displaystyle -}
2
{\displaystyle 2}
)
{\displaystyle )}
.
{\displaystyle .}
6
{\displaystyle 6}
+
{\displaystyle +}
1
{\displaystyle 1}
.
{\displaystyle .}
9
{\displaystyle 9}.

Observatii: Două numere întregi
a
{\displaystyle a} și
b
{\displaystyle b} se numesc prime între ele dacă
(
a
;
b
)
=
1
{\displaystyle (a;b)=1}. Deducem că două numere întregi
a
{\displaystyle a} și
b
{\displaystyle b} sunt prime între ele dacă și numai dacă există două numere întregi,
k
1
{\displaystyle k1} și
k
2
{\displaystyle k2}, astfel încât
1
{\displaystyle 1}
=
{\displaystyle =}
k
{\displaystyle k}
1
{\displaystyle 1}
.
{\displaystyle .}
a
{\displaystyle a}
+
{\displaystyle +}
k
{\displaystyle k}
2
{\displaystyle 2}
.
{\displaystyle .}
b
{\displaystyle b}.[1]

Algoritmul privind calculul c.m.m.d.c.:
Se descompun numerele în factori primi;
Se aleg factorii primi comuni (o singură dată fiecare), cu exponentul cel mai mic și se înmulțesc între ei.
Produsul obținut este c.m.m.d.c. căutat.

Exemplu:
a
=
12
=
2
2
⋅
3
{\displaystyle a=12=2^{2}\cdot 3},
b
=
8
=
2
3
{\displaystyle b=8=2^{3}},
c
=
20
=
2
2
⋅
5
{\displaystyle c=20=2^{2}\cdot 5},
Deci:

d
=
2
2
=
4
{\displaystyle d=2^{2}=4}
Prin urmare:

d
=
(
12
,
8
,
20
)
=
4
{\displaystyle d=(12,8,20)=4}