Question

Ce este integrala nedefinită a unei funcții?

Answer 1

Răspuns:

Integrala definită

Definiţie

Fie f:[a,b]→R o funcţie care admite primitive pe [a,b] şi F este o primitivă a funcţiei f, atunci

∫baf(x)dx=F(b)−F(a)=notF(x)|ba.

Se numeşte formula lui Leibniz-Newton.

Se citeşte "integrala de la a la b din f(x) de x este F(b) minus F(a)". F(x)|ab se citeşte F(x) de la a la b.

Exemplu. O primitivă a funcţiei f:[0,1]→R, f(x)=e3x este

F:[0,1]→R,F(x)=e3x3

şi astfel

∫10e3xdx=e3x|10=e33−13=e3−13.

Clase de funcţii integrabile

Teorema 1. Orice funcţie monotonă f:[a,b]→R este integrabilă.

Teorema 2. Orice funcţie continuă f:[a,b]→R este integrabilă.

Observaţie Integrala nedefinită a unei funcţii f este o mulţime de funcţii, iar integrala definită a funcţiei f este un număr real.

Observaţie Dacă o funcţie este integrabilă pe [a,b], atunci numărul ∫abf(x)dx este unic determinat.

Proprietăţile funcţiilor integrabile

Teoremă. Dacă funcţiile f,g:[a,b]→R sunt integrabile pe [a,b], λ∈R, atunci:

♦ f+g este integrabilă pe [a,b] şi

∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx

♦ λ·f este integrabilă pe [a,b] şi

∫ab[λ⋅f(x)]dx=λ⋅∫abf(x)dx

Teoremă. Dacă funcţia f:[a,b]→R este integrabilă pe intervalele [a,c] şi [c,b], unde c∈(a,b), atunci f este integrabilă pe [a,b] şi

∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx.

Explicație pas cu pas:

spor la teme

(scrie cam cat îți trebuie )