Question

Ce formă trebuie să aibă numărul natural n, pentru ca numărul 7"+ 8" să se dividă cu 5?
Va rog este urgent dau coroana​

Answer 1

Răspuns:

n trebuie să fie de forma 4n+1 sau 4n+3

Explicație pas cu pas:

Exercițiul se rezolvă analizând ultima cifră a numărului 7ⁿ + 8ⁿ

Pentru a fi divizibil cu 5, ultima cifră a sumei 7ⁿ + 8ⁿ trebuie să fie 0 sau 5

Analizăm pe 7:

uc 7¹ = 7

uc 7² = 9

uc 7³ = 3

uc 7⁴ = 1

uc 7⁵ = 7, iar de aici se repetă din 4 în 4

Observăm că regula este următoarea:

uc 7⁴ⁿ⁺¹ = 7

uc 7⁴ⁿ⁺² = 9

uc 7⁴ⁿ⁺³ = 3

uc 7⁴ⁿ = 1

Acum analizăm pe 8:

uc 8¹ = 8

uc 8² = 4

uc 8³ = 2

uc 8⁴ = 6

uc 8⁵ = 8, iar de aici se repetă din 4 în 4

Observăm că regula este următoarea:

uc 8⁴ⁿ⁺¹ = 8

uc 8⁴ⁿ⁺² = 4

uc 8⁴ⁿ⁺³ = 2

uc 8⁴ⁿ = 6

Ultima cifră a sumei 7ⁿ + 8ⁿ poate fi una din următoarele 4 variante:

a) când n are forma 4n+1,

   uc 7ⁿ⁺¹ + 8ⁿ⁺¹ = uc 7+8 = 5, deci 4n+1 e soluție;

b) când n are forma 4n+2,

   avem uc 7⁴ⁿ⁺² + 8⁴ⁿ⁺² = 9+4 = 3, deci 4n+2 nu e soluție;

c) când n are forma 4n+3,

   avem uc 7⁴ⁿ⁺³ + 8⁴ⁿ⁺³ = 3+2 = 5, deci 4n+3 e soluție;

d) când n are forma 4n,

   avem uc 7⁴ⁿ + 8⁴ⁿ = 1+6 = 7, deci 4n nu e soluție;