Question

Ce înseamnă „ progresia aritmetică” și „ progresia geometrică”?(P.S dacă se poate ceva mai arofundat :)

Answer 1

Progresia aritmetica este un sir de numere obitnut adunand de fiecare data aceeasi valoare, numita "ratia progresiei aritmetice".
Exemple:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10....... are ratia 1.

10, 12, 14, 16, 18, 20.....are ratia 2

3, 0, -3, -6, -9 .... are ratia -3

1, 3/2, 2, 5/2, 3.... are ratia 1/2

O progresie aritmetica are termeni, notati cu $a_1, a_2, a_3...a_n$ unde "n"  este ordinul elementului in progresie.

Formula termenului general in progresia aritmetica este
$a_n=a_1+r(n-1)$
De asemenea, oricare numar dintr-o progresie aritmetica este media aritmetica dintre succesorul si predecesorul sau.
$a_n= \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

Suma primilor n termeni este

$S_n= \frac{(a_1+a_n)n}{2}$





Progresia geometrica este un sir de numere obtinut inmultind de fiecare data aceeasi valoare, numita "ratia progresiei geometrice".

Exemple
1, 2, 4, 8, 16.... are ratia 2
4, 12, 36, 108... are ratia 3
2, 1, 1/2, 1/4, 1/8.... are ratia 1/2
1, -1, 1, -1, 1, -1 ..... are ratia -1

Termenul general are formula $b_n=b_1q^{n-1}$
unde q este ratia si n este ordinul elementului in progresie.

De asemenea, oricare numar dintr-o progresie geometrica este media geometrica dintre succesorul si predecesorul sau.

$b_n= \sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}$

Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice este

$S_n= \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

Exemple de exercitii cu suma primilor n termeni

1) Pentru progresie aritmetica

Sa luam pe caz general urmatoarea suma:

7, 10, 13, 16, 19....58, 61, 64. - ratia 3
Sa zicem ca vrem sa calculam suma primilor 10 termeni. Nu stim care este al 10 lea termen dar il aflam
$a_{10}=7+3*9=7+27=34$

Suma este
$S_{10}= \frac{(7+34)*10}{2}= 205$

Un alt gen de exercitiu este sa calculam suma pana la 61. Acum stim care este ultimul termen, dar nu stim al catelea, asa ca aflam:

$61=7+3(n-1) \\ 61=7+3n-3 \\ 3n=57 \\ n=19$

Acum calculam suma:

$S_{19}= \frac{(7+61)19}{2} =646$

2) Pentru progresie geometrica, sa consideram sirul
5, 10, 20, 40, 80, 160..... 10240, 20480 are ratia 2

Sa zicem ca vrem sa calculam suma primilor 5 termeni

$S_5= \frac{5(2^5-1)}{2-1} =5*31=155$

Sau sa zicem ca ne cere sa calculam suma pana la 320. Ne trebuie sa stim al catelea termen este 320.

$320=5*2^{n-1} \\ 2^{n-1}=64=2^6 \\ n-1=6 \\ n=7$

Atunci suma primilor 7 termeni este
$S_7= \frac{5(2^7-1)}{2-1}= 635$