Question

Ce metode mai exista pentru a arata ca o matrice este inversabila sau nu in afara de Sarus?

Answer 1

Metoda lui Sarus nu e o metoda care sa ne spuna direct daca o matrice e inversabila sau nu.

Metoda lui Sarus poate fi folosita pentru a calcula determinantii. Daca determinantul e nenul atunci matricea e inversabila.

Deci cerinta nu este clara. Se poate intelege ca fie se doreste o alta metoda pentru demonstrarea inversitatii (decat cea cu determinantul), fie ca se doreste o alta metoda pentru calcularea determinantului.

Pentru calcularea determinantului :

Pe langa metoda lui Sarrus de a calcula determinantii mai pot fi folosite anumite proprietati (determinant vandermonde, observarea faptului ca o linie sau coloana are toate elementele 0, aducerea matricei intr-un astfel de caz, etc.), Regula triunghiurilor, Calcularea determinantului de ordin n recursiv folosind determinantii de ordin n-1, etc.

Pentru demonstrarea faptului ca o matrice e sau nu inversabila :

O matrice A este inversabila daca si numai daca exista o matrice B astfel incat $A*B=B*A=I$.

Deci daca demonstram ca nu exista o matrice B astfel incat A*B=B*A=I rezulta ca matricea A nu e inversabila.

Exemplu prin metoda falsei ipoteze (demonstram ca A nu e inversabila) :

$A=\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]$

B este inversa lui A =>

A*B=I2

$\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Deci ipoteza este falsa, nu exista B astfel incat A*B=I , deci rezulta ca matricea A nu e inversabila.