Question

Ce se intelege prin valoarea parametrilor?

Answer 1

Ce valori au a si b, numere reale, pentru care, acea limita, sa fie egala cu 1.

Answer 2

   
Vom calcula valoarea reala a parametrilor a si b astfel incat  
limita din enunt sa fie egala cu 1.


[tex]\displaystyle\\ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{x^2+1}{x+1}-2ax-3b \right)=\\\\ =\lim_{n \to \infty} \left(\frac{x^2+1}{x+1}-(2ax+3b) \right)=\\\\ =\lim_{n \to \infty} \left(\frac{x^2+1}{x+1}-\frac{(x+1)(2ax+3b)}{x+1} \right)=\\\\ =\lim_{n \to \infty} \left(\frac{x^2+1}{x+1}-\frac{2ax^2+2ax+3bx+3b }{x+1} \right)=\\\\ =\lim_{n \to \infty} \left(\frac{x^2+1}{x+1}-\frac{2ax^2+(2a+3b)x+3b }{x+1} \right)=\\\\ [/tex]

[tex]\displaystyle\\ =\lim_{n \to \infty} \left(\frac{x^2+1 - [2ax^2+(2a+3b)x+3b] }{x+1}\right)=\\\\ =\lim_{n \to \infty} \left(\frac{x^2+1 - 2ax^2-(2a+3b)x-3b }{x+1}\right)=\\\\ =\lim_{n \to \infty} \left(\frac{(1- 2a)x^2-(2a+3b)x+(1-3b) }{x+1}\right)=\\\\ =\lim_{n \to \infty} \left(\frac{(1- 2a)x^2+(-2a-3b)x+(1-3b) }{x+1}\right)\\\\ [/tex]

Avem limita x→ ∞ a unei fractii de polinnoame
deoarece la numarator avem cea mai mare putere a lui x  mai mare decat cea mai mare putere a lui x de la numitor.
Pentru ca limita sa fie finita, trebuie sa eliminam termenul cu x^2 de la numarator  si aflam parametrul a din ecuatia:
1 - 2a = 0  
 Acum la numarator puterile lui x sunt egale, rezulta limita finita.
Limita este egala cu raportul coeficientilor lui x de la numarator si de la numitor.
Dar limita nu este egala cu 1.
Trebuie sa facem coeficientul lui x de la numarator egal cu coeficientul
lui x de la numitor care este 1, cu ajutorul ecuatiei:
-2a-3b = 1
si il aflam pe b.

Si acum calcule:

[tex]\displaystyle\\ =\lim_{n \to \infty} \frac{(1- 2a)x^2+(-2a-3b)x+(1-3b) }{x+1}\\\\ 1-2a=0\\ 2a = 1\\ \boxed{\bf a= \frac{1}{2} }\\\\ \text{Rezulta limita:}\\\\ \lim_{n \to \infty} \frac{(-2a-3b)x+(1-3b) }{x+1}\\\\ -2a-3b=1\\\\ -2\cdot \frac{1}{2} -3b = 1\\\\ -1-3b=1\\\\ -3b = 1+1\\\\ -3b = 2\\\\ \boxed{\bf b =-\frac{2}{3}} \\\\ [/tex]

[tex]\displaystyle\\ \text{Rezulta limita:}\\\\ \lim_{n \to \infty} \frac{(-2a-3b)x+(1-3b) }{x+1}=\\\\ =\lim_{n \to \infty} \frac{x+\left(1-3\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)\right) }{x+1}=\\\\ =\lim_{n \to \infty} \frac{x+(1+2) }{x+1}=\\\\ =\lim_{n \to \infty} \frac{x+3 }{x+1}= 1[/tex]