Question

cel mai mic numar natural de forma 1×2×3×4×....×50 supra 2 la puterea a ×3 la puterea b×5 la puterea c×7 la puterea d ,unde a,b,c,d sunt numere naturale se obține pentru a+b+c+d egal cu: 90,98,89,83,alt raspuns

Answer 1

Răspuns:

a+b+c+d=47+22+12+8=89

Explicație pas cu pas:

(1×2×3×4×....×50)/($2^{a}$ × $3^{b}$ × $5^{c}$ × $7^{d}$)

a,b,c,d∈N

Numărul de factori primi 2 din descompunerea numărătorului este:

[50/2]+[50/2²]+[50/2³]+[50/2⁴]+[50/2⁵]=

=[50/2]+[50/4]+[50/8]+[50/16]+[50/32]

=25+12+6+3+1

=47

=> 2⁴⁷

Numărul de factori primi 3 din descompunerea numărătorului este:

[50/3]+[50/3²]+[50/3³]=

=[50/3]+[50/9]+[50/27]=

=16+5+1

=22

=> 3²²

Numărul de factori primi 5 din descompunerea numărătorului este:

[50/5]+[50/5²]+=

=[50/5]+[50/25]

=10+2

=12

=> 5¹²

Numărul de factori primi 7 din descompunerea numărătorului este:

[50/7]+[50/7²]+=

=[50/7]+[50/49]

=7+1

=8

=> 7⁸

(1×2×3×4×....×50)/($2^{a}$ × $3^{b}$ × $5^{c}$ × $7^{d}$)

Cel mai mare nr de aceasta formă se obține pentru:

a=47; b=22; c=12; d=8

=> a+b+c+d=47+22+12+8=89