Question

Cerinta se refera la cubul ABCDA'B'C'D'                                                                                                      
calculati distanta de la punctul A' la dreapta AB ; de la punctul A' la dreapta BC; de la punctul A' la dreapta BD

Answer 1

latura cubului = 4
distanta de la A' la AC este  = AA' = 4
distanta de la A' la BC este A'B = 4√2    -diagonala unei fete a cubului
distanta de la A' la BD este A'O unde O este punctul de intersectie al diagonalelor
BD/2=(4√2)/2
A'O=√(4√2)²-[(4√2)/2]²=√(32-8)=√24=2√6 cm

Answer 2

1) Deoarece distanta de la un punct la o dreapta este data de lungime perpendicularei din acel punct la acea dreapta si cum AA' perpendiculara pe AB (deoarece toate fetele cubului sunt patrate) rezulta ca distanta de la punctul A' la dreapta AB este data chiar de muchia AA'=4 cm, dupa cum ai precizat ulterior.

2) Pentru a calcula distanta de la punctul A' la dreapta BC vom folosi Teorema celor 3 perpendiculare (T3P):
AA' perpendicular pe planul (ABC) (pentr ca e perpendiculara pe AB si AD) si AB perpendiculara pe BC, iar BC inclusa in planul (ABC), deci, aplicand T3P, rezulta ca A'B perpendicular pe BC, deci am obtinut perpendiculara din A' pe BC, a carei lungime este chiar distanta cautata:

A'B este diagonala in patratul ABB'A', deci A'B=$4 \sqrt{2}$ cm.

3) Pentru a calcula distanta de la punctul A' la dreapta BD vom folosi din nou (T3P):
Construim diagonalele AC si BD in patratul ABCD, care se vor intersecta in O. Stim ca diagonalele unui patrat sunt perpendiculare, deci AO perpendicular pe BD.
Cum AA' perpendicular pe planul (ABC) si AO perpendicular pe BD (am aratat mai sus), din T3P rezulta ca A'O perpendicular pe BD, deci A'O este distanta cautata.
Cum A'A perpendicular pe planul (ABC), inseamna ca A'A perpendicular pe AO, deci triunghiul A'AO este dreptunghic in A.

AO este jumatate de diagonala in patratul ABCD (pentru ca stim ca intr-un patrat diagonalele se injumatatesc), deci
AO=$\frac{4 \sqrt{2} }{2} =2 \sqrt{2}$ cm
Aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul A'AO:
$A'O^{2} = A'A^{2} + AO^{2}$
$A'O^{2} = 16 + 8=24=4*6$, de unde
A'O=$2 \sqrt{6}$ cm