Question

Cine imi explica cand se folosesc -b/2a si -d/4a la valoile minime si maxime functilor de gradul 2

Answer 1

Sa luam o functie de gradul doi de forma generala $f(x)=ax^2+bx+c$. Graficul functiei de gradul 2 este o parabola, iar in functie de semnul coeficientului dominant, adica al lui a, parabola respectiva va avea varful "in sus", pentru a negativ, sau "in jos", pentru a pozitiv. Coordonatele varfului parabolei vor fi $V(\frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a})$, unde primul raport reprezinta valoarea lui x pentru care functia ia valoarea maxima sau minima (daca este maxima sau minima depinde tot de semnul lui a, deoarece daca varful este in sus, adica a negativ, functia va avea un punct de maxim, iar daca varful este in jos, adica a pozitiv, functia va avea un punct de minim), iar cea de-a doua reprezinta valoarea maxima sau minima pe care o ia functia. Asta se poate justifica in felul urmator, rescriind putin forma generala a functiei:
$f(x)=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} -\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})$
Am facut asta pentru a forma urmatorul patrat:
$f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2})$
$f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}$
Din forma asta a functiei se poate vedea ca daca avem $x=\frac{-b}{2a}$, atunci $f(x)=-\frac{\Delta}{4a}$, ceea ce explica de ce acesta este valoarea extrema a functiei, pentru ca daca a este pozitiv, cum patratul pe care l-am format este mereu mai mare sau egal ca zero, produsul cu a nu ii schimba semnul, deci pentru orice alta valoare a lui x, functia va lua o valoare mai mare decat aceasta, deci reprezinta minimul, iar daca a este negativ, produsul schimba semnul patratului, deci va fi mai mic sau egal ca zero, iar pentru orice alta valoare a lui x, functia va lua o valoare mai mica decat aceasta, deci este maximul functiei.