Question

Cine îmi explică tema?Va roggg!Ca nu am inteles?!
ecuatiile de gradul 2 si formula lor de calcul.
pleasee

Answer 1

Ecuatia de gradula al II-lea are urmatoarea forma:

ax^2 + bx + c = 0,  a, b, c∈ R, a ≠ 0

In continuare, vom avea nevoie de formula binomului la patrat:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Pentru a afla formula de calcul a solutiilor vom porni de la rezolvarea catorva exemple:

$x^2 - 4x-21=0$

Expresia seamana cu urmatorul binom:
$(x-2)^2 = x^2 - 4x+4$

Pentru a completa binomul trebuie sa adaugam un 4:
[tex]x^2 - 4x+4-4-21=0\\ (x^2-4x+4)-25=0\\ (x-2)^2-25=0\\ (x-2)^2=25[/tex]
[tex]a^2=b\rightarrow a=\pm \sqrt{b}\\\\ (x-2)^2=25\rightarrow x-2=\pm\sqrt{25}=\pm5\\ (x-2)\in \{-5,5\}\rightarrow \boxed{x\in \{-3,7\}}[/tex]

Exeplul 2:
$2x^2+12x-14=0$

Si aici va trebui sa formam un binom de forma:
$(x+n)^2=x^2+2nx+n^2$

Problema este ca in ecuatie noi avem 2x^2, asa ca vom imparti la 2 in ambii membri, ca sa scapam de 2:

[tex]\frac{1}{2}(2x^2)+\frac{1}{2}(12x)+\frac{1}{2}\cdot(-14)=0\\\\ x^2+6x-7=0[/tex]

In cazul nostru, 2nx este 6x. De aici il putem afla pe n:
2nx = 6x ==> 2n = 6  ==> n = 3. Asadar, binomul este:
$(x+3)=x^2+6x+9$

Noi mai trebuie sa adaugam un 9:
[tex]x^2+6x+9-9-7=0\\ (x+3)^2-16=0\\ (x+3)^2=16\rightarrow x+3=\pm 4 \rightarrow \boxed{x\in \{-7,1\}}[/tex]

Acum putem trece la rezolvarea ecuatiei generale folosind metoda de mai sus:
$ax^2+bx+c=0$

Vrem sa construim urmatorul binom:
$(x+n)^2=x^2+2nx+n^2$

In ecuatia noastra avem ax^2, nu x^2, asa ca va trebui sa impartim in ambii membri la a pentru a scapa de el:
[tex]\frac{1}{a}(ax^2)+\frac{1}{a}(bx)+\frac{1}{a}\cdot c=0\\\\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0[/tex]

In cazul nostru 2nx este b/a * x:
$2nx=\frac{b}{a}x\rightarrow 2n=\frac{b}{a}\rightarrow n=\frac{b}{2a}$

Deci binomul care trebuie construit este:
$(x+\frac{b}{2a})^2=x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}$

Adunam cu (b^2)/(4a^2) in ambii membri ai ecuatiei:
[tex]x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\\\\ (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}=0\\\\ (x+\frac{b}{2a})^2+\frac{-b^2+4ac}{4a^2}=0\\\\ (x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{-b^2+4ac}{4a^2}\\\\ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\rightarrow (x+\frac{b}{2a})=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\\\ [/tex]
[tex]x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{(2a)^2}}\\\\ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\pm2a}\\\\ x+\frac{b}{2a}=\mp\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\ x=-\frac{b}{2a}\mp\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\ \boxed{x=\frac{-b\mp\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}[/tex]

Pentru a ne fi mai usor, vom nota cu Δ = b^2 - 4ac (Delta):
[tex]\Delta=b^2-4ac\\\\ x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]

Aceasta este formula pentru aflarea solutiilor unei ecuatii de gradul al doilea.