Question

cine ma poate ajuta? (la sfarsit scrie 1006) MULTUMESCCC

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$\bigg( \dfrac{1}{1 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 5} + \dfrac{1}{5 \cdot 7} + ... + \dfrac{1}{2011 \cdot 2013} \bigg) \cdot \dfrac{2013}{1006} =$

$= \dfrac{1}{2} \cdot \bigg( \dfrac{2}{1 \cdot 3} + \dfrac{2}{3 \cdot 5} + \dfrac{2}{5 \cdot 7} + ... + \dfrac{2}{2011 \cdot 2013} \bigg) \cdot \dfrac{2013}{1006} =$

$= \dfrac{1}{2} \cdot \bigg( \dfrac{3 - 1}{1 \cdot 3} + \dfrac{5 - 3}{3 \cdot 5} + \dfrac{7 - 5}{5 \cdot 7} + ... + \dfrac{2013 - 2011}{2011 \cdot 2013} \bigg) \cdot \dfrac{2013}{1006}$

$= \dfrac{1}{2} \cdot \bigg( \dfrac{3}{1 \cdot 3} - \dfrac{1}{1 \cdot 3} + \dfrac{5}{3 \cdot 5} - \dfrac{3}{3 \cdot 5} + \dfrac{7}{5 \cdot 7} - \dfrac{5}{5 \cdot 7} + ... + \dfrac{2013}{2011 \cdot 2013} - \dfrac{2011}{2011 \cdot 2013} \bigg) \cdot \dfrac{2013}{1006}$

$= \dfrac{1}{2} \cdot \bigg( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + ... + \dfrac{1}{2011} - \dfrac{1}{2013} \bigg) \cdot \dfrac{2013}{1006}$

$= \dfrac{1}{2} \cdot \bigg( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2013} \bigg) \cdot \dfrac{2013}{1006} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2013 - 1}{2013} \cdot \dfrac{2013}{1006}$

$= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2012}{2013} \cdot \dfrac{2013}{1006} = \dfrac{2012}{2012} = \bf 1$