Question

Cine poate sa ma ajute cu demonstratia? Va rog,e urgent!

Answer 1

Știm că :

$\it m_a^2=\dfrac{2(b^2+c^2)-a^2}{4} \ \ \ \ \ (*) \\ \\ \\ Th. sin \Rightarrow\begin{cases}\it \dfrac{a}{sinA} = 2R \Rightarrow sinA=\dfrac{a}{2R} \\ \\ \\ \it \dfrac{b}{sinB} = 2R \Rightarrow sinB=\dfrac{b}{2R} \\ \\ \\ \it \dfrac{c}{sinC} = 2R \Rightarrow sinC=\dfrac{c}{2R}\end{cases} \ \ \ \ \ (1) \\ \\ \\ Th. cos \Rightarrow cosA = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \ \ \ \ \ (2)$

Folosind relațiile (1), (2), membrul drept al egalității din enunț devine:

$\it R^2\left(\dfrac{a^2}{4R^2}+4\cdot\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\dfrac{b}{2R}\cdot\dfrac{c}{2R}\right) = R^2\cdot\dfrac{a^2+2b^2+2c^2-2a^2}{4R^2}= \\ \\ \\ =\dfrac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}\ \stackrel{(*)}{=} \ m_a^2$