Question

Cine poate sa ma ajute sa fac aceasta problema cu cele doua etape din metoda inducției

Answer 1

Explicație pas cu pas:

notăm P(n) : ${1}^{2} + {2}^{2} + {3}^{2} + ... + {n}^{2} = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

Etapa de verificare:

verificăm pentru n = 1:

P(1) : ${1}^{2} = \dfrac{1 \cdot (1 + 1) \cdot (2 \cdot 1 + 1)}{6}$

$1 = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} \iff 1 = 1$

P(1) este adevărată

Etapa de demonstrație:

presupunem că propoziția P(k) este adevărată:

${1}^{2} + {2}^{2} + {3}^{2} + ... + {k}^{2} = \dfrac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$

și demonstrăm că propoziția P(k + 1) este adevărată:

${1}^{2} + {2}^{2} + {3}^{2} + ... + {k}^{2} + {(k + 1)}^{2} \\ = \dfrac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + {(k + 1)}^{2} \\ = \dfrac{k(k + 1)(2k + 1) + 6{(k + 1)}^{2}}{6} \\ = \dfrac{(k + 1) [k(2k + 1) + 6(k + 1)] }{6} \\ = \dfrac{(k + 1) (2 {k}^{2} + 7k + 6) }{6} \\ = \dfrac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \\ = \dfrac{(k + 1) [(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1]}{6}$

P(k + 1) este adevărată => P(n) este adevărată ∀n ∈ ℕ*

q.e.d.