Question

Clasa a 9-a, inegalități.
Mulțumesc anticipat!!:))​

Answer 1

Răspuns:

b) n=24∈N

Explicație pas cu pas:

• a)
• amplificam fiec fractie cu conjugat parantezei de la numitor

(√2-√1)/√2*√1 *1+(√3-√2)/√3*√2*1+...+(√(n+1)-√n)/√(n+1)*√(n+1)

=1/√1-1/√2+1/√2-1/√3+.......+1/√n- 1/√(n+1)=

=a=1-1/√(n+1)

cum 0<a<1⇒[a]=0 si {a}=a

• b)

{a}=a=4/5=1-1/5=1-1/√(n+1)

5=√(n+1)

25=n+1

n=24

Answer 2

a)

Vom utiliza o culisare (telescopare) a termenilor sumei, printr-un

procedeu simplu, exemplificat pentru al doilea termen:

$\it \dfrac{1}{\sqrt{2\cdot3}(\sqrt2+\sqrt3)}=\dfrac{^{\sqrt3-\sqrt2)}1}{\ \ \sqrt2\cdot\sqrt3(\sqrt3+\sqrt2)}=\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt3\cdot1}=\dfrac{1}{\sqrt2}-\dfrac{1}{\sqrt3}$

Aplicăm procedeul fiecărei fracții și obținem:

$\it a=\dfrac{1}{\sqrt1}-\dfrac{1}{\sqrt2}+\dfrac{1}{\sqrt2}-\dfrac{1}{\sqrt}+\ ...\ +\dfrac{1}{\sqrt n}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} \Rightarrow$

$\it \Rightarrow a\in(0,\ \ 1) \Rightarrow \[[a]=0,\ \ \ \{a\}=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$

b)

$\it \ \{a\}=\dfrac{4}{5}=1-\dfrac{1}{5}\ \ \ \ \ (1)\\ \\ \\ Dar,\ \ \{a\}=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\ \ \ \ \ (2)\\ \\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{5} \Rightarrow \sqrt{n+1}=5 \Rightarrow (\sqrt{n+1})^2=5^2 \Rightarrow n+1=25 \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow n=25-1 \Rightarrow n=24$